BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Sebelum kita bahas
tentang faktor (pembagi) persekutuan terbesar, marilah kita lihat beberapa
peragaan berikut:Perhatikan dua bilangan a = 6 dan b = 8.Jika A adalah himpunan
semua faktor dari a, dan B adalah himpunan semua faktor dari b, serta C
adalah himpunan semua faktor persekutuan dari a dan b, maka:
A = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
B = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
C = A∩B = {-2, -1, 1, 2}
Unsur (anggota, elemen) dari C yang terbesar adalah 2
2 merupakan faktor persekutuan yang terbesar dari a = 6 dan b = 8
2 juga merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = 6 dan b =
8
Sekarang bagaimana kalau diambil a = -6 dan b = 8
A = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
B = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
C = A∩B = {-2, -1, 1, 2}
Unsur dari C yang terbesar adalah 2.
2 merupakan faktor persekutuan yang terbesar dari a = -6 dan b = 8
2 juga merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = -6 dan b
= 8
Dengan jalan yang sama, jika diambil a = -6 dan
b = -8, maka juga akan diperolehfaktor persekutuan
terbesar dari a dan b adalah 2.
Jika untuk menyatakan faktor persekutuan terbesar dari a dan b digunakan
lambang(a, b), maka dapat ditentukan bahwa:(6, 8) = 2(-6, 8) = 2(-6, -8) = 2
Ternyata, faktor persekutuan terbesar dari dua
bilangan bulat a dan b, apapun tandamasing-masing, selalu
diperoleh nilai yang bertanda positif.
Bagaimana keadaan faktor persekutuan terbesar ini jika a atau b
(tidak keduanya) bernilai nol?Ambil a = 0 dan b = 6
A = himpunan semua faktor a = 0= { …, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, …}
B = himpunan semua faktor b = 6= {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
C = A∩B= {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
Unsur yang terbesar dari C adalah 6,
berarti (a, b) = (0, 6) = 6
Untuk a = 0 dan b = 0,
perhatikan bahwa:
A = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}
B = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}
C = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}
Sehingga tidak mungkin menentukan unsur yang
terbesar dari C, atau faktor persekutuan
terbesar dari a = 0 dan b = 0 tidak ada.
B.
Rumusan Masalah
1. Bagaimana
pembuktian teorema 2.1 pada materi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan
penerapannya dalam berbagai contoh?
2. Bagaimana
pembuktian teorema 2.2 pada materi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan
penerapannya dalam berbagai contoh?
C.
Tujuan Penulisan
1. Untuk
membuktikan teorema 2.1 pada materi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan
menerapkannya dalam berbagai contoh.
2. Untuk membuktikan teorema 2.2 pada materi Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB) dan menerapkannya dalam berbagai contoh.
D.
Manfaat Penulisan
Adapun
manfaat penulisan dari makalah ini yaitu untuk menambah pengetahuan mahasiswa
dalam mata kuliah teori bilangan khususnya teorema 2.1 dan 2.2 pada materi
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).
BAB
II
PEMBAHASAN
FAKTOR
PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)
Jika A adalah himpunan semua faktor a = 8, B adalah himpunan semua faktor b = 12 dan C adalah himpunan faktor persekutuan dari a dan b, maka :
A
= {-8,-4,-2,-1,1,2,4,8}
B
= {-12,-6,-4,-3,-1,1,3,4,6,12}
C
= A ∩ B = {-4,-2,-1,1,2,4}
Semua faktor persekutuan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua anggota himpunan A ∩ B, dan habis dibagi oleh bilangan bulat a dan b.
A. Teorema 2.1
jika (a,b) = d maka (a:d, b:d) = 1
Bukti :
Misalkan
(a:d, b:d) = c. akan ditunjukkan bahwa c = 1
Akan
diperlihatkan c ≤ 1 dan c ≥ 1.
Karena
c faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat a dan b, maka c ≥
1.
Selanjutnya,
akan ditunjukkan
c ≤ 1.
(a:d,
b:d) = c berdasarkan definisi 2.1 maka c│ (a:d) dan c│ (b:d)
Jika
c│ (a:d) maka, terdapat q elemen Z demikian hingga a:d = cq menurut definisi pembagian a = (cq)d = (cd)q
Jika
c │ (b:d) maka, terdapat r elemen Z demikian hingga b:d = cr menurut definisi pembagian b = (cr)d = (cd)r
Dari
a dan b maka cd ≤ d (berdasarkan teorema
2.2) .karena d positif maka
c ≤ 1.
Dengan demikian, c ≤ 1 dan c ≥
1. Jadi, c = 1.
Contoh-contoh Teorema
2.1
1. Misalkan
a = 30 dan b = 45. Tentukan (a,b) !
Penyelesaian:
Faktor bulat positif dari 30 =
1,2,3,5,6,10,15,30
Faktor bulat positif dari 45 = 1,3,5,9,15,45
Jadi,
faktor persekutuan terbesar dari (30,45) adalah 15,
atau dapat ditulis secara singkat sebagai (30,45) = 15.
Dari teorema 2.1 jika
(a,b) = d maka (a:d, b:d) = 1
Jika
(30,45) = 15, maka (30:15, 45:15) = 1.
2. Misalkan a
= -12 dan b = 40, maka
(a,b)
= (-12,40) = 4
3. Misalkan
a = 30 dan b = 105, maka
(a,b)
= (30,105) =15
B.
Teorema
2.2
jika b = qa + r maka
(b,a) = (a,r)
Bukti
:
Dalam Dalil Algoritma Pembagian;
“jika a,b Z dan a ≥ 0 maka ada bilangan bulat q dan r yang
masing-masing tunggal sehingga
b = qa+ r dengan 0 ≤ r < a”
Bilangan bulat q dan r dalam teorema ini berturut-turut disebut hasil bagi dan sisa dalam pembagian b oleh a.
Apakah benar b = qa + r →
(b,a) = (a,r) ?
Misalkan (b,a) = c dan (a,r) = d maka kita akan membuktikan bahwa c = d !
Karena (b,a) = c maka c│b dan c│a, dan karena b = qa + r maka c│r. dari c│a dan c│r rmaka c adalah faktor persekutuan dari a dan r.
Selanjutnya, karena (a,r) = d, maka d│a dan d│r dan karena b= qa + r maka d│b. dari d│a dan d│b maka d adalah factor persekutuan dari a dan b, tetapi karena (a,b) = d maka
c ≥ d.
Dari
c ≤ d dan c ≥ d, maka c
= d yaitu (b,a) = (a,r).
Contoh-contoh Teorema
2.2
1. Misalkan a = 35 dan b = 60
Dengan menggunakan algoritma pembagian
60 = 1.35 + 25 ,
Jika 60 = 1.35 + 25 maka
(60,35) = (35,25)
(35,25)
= 5 berarti (60,35) = 5
2. Misalkan
a = 21 dan b = 75
b = qa + r
75 = 3.21 + 12
Disini tampak bahwa (75,21) = (21,12)
= 3
3. Misalkan
a = 8 dan b = 27
b = qa + r
27 = 3.8 + 3
Disini tampak bahwa (27,8) = (8,3) =
1
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dalam makalah ini
adalah :
·
Teorema 2.1 jika (a,b) = d maka
(a:d, b:d) = 1 . Dalam
teorema ini kita dapat membuktikan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua
bilangan.
·
Teorema 2.2 jika b = qa + r maka
(b,a) = (a,r) .
B.
Saran
Kelompok kami mengharapkan agar mahasiswa
dapat memahami mengenai materi faktor persekutuan terbesar (FPB).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar